[题目]己知圆F1:(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3).圆F2:(x-1)2+y2= (4-r)2．(1)证明:圆F1与圆F2有公共点.并求公共点的轨迹E的方程,(2)已知点Q(m.0)(m<0).过点E斜率为k(k≠0)的直线与(Ⅰ)中轨迹E相交于M.N两点.记直线QM的斜率为k1.直线QN的斜率为k2.是否存在实数m使得k(k1+k2)为定值?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】己知圆F1：(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3)，圆F2：(x-1)2+y2= (4-r)2．

（1）证明：圆F1与圆F2有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；

（2）已知点Q(m，0)(m<0)，过点E斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交于M，N两点，记直线QM的斜率为k1，直线QN的斜率为k2，是否存在实数m使得k(k1+k2)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

【答案】（1）见解析，（2）存在，

【解析】

（1）求出圆和圆的圆心和半径，通过圆F1与圆F2有公共点求出的范围，从而根据可得点的轨迹，进而求出方程；

（2）过点且斜率为的直线方程为，设，，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理以及，，可得，根据其为定值，则有，进而可得结果.

（1）因为，，所以，

因为圆的半径为，圆的半径为，

又因为，所以，即，

所以圆与圆有公共点，

设公共点为，因此，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

所以，，，

即轨迹的方程为；

（2）过点且斜率为的直线方程为，设，

由消去得到，

则，， ①

因为，，

所以

，

将①式代入整理得

因为，

所以当时，即时，.

即存在实数使得.

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