Question

【题目】已知函数.

（1）若，求证：.

（2）讨论函数的极值；

（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.

【解析】

（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；

（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；

（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.

（1），，

，当时，，

当时，，∴，故.

（2）由题知，，，

①当时，，

所以在上单调递减，没有极值；

②当时，，得，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

故在处取得极小值，无极大值.

（3）不妨令，

设在恒成立，

在单调递增，，

在恒成立，

所以，当时，，

由（2）知，当时，在上单调递减，

恒成立；

所以不等式在上恒成立，只能.

当时，，由（1）知在上单调递减，

所以，不满足题意.

当时，设，

因为，所以，

，

即，

所以在上单调递增，

又，所以时，恒成立，

即恒成立，

故存在，使得不等式在上恒成立，

此时的最小值是1.