Question

16．在平面直角坐标系xOy中，设直线x-y+m=0（m＞0）与圆x²+y²=8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为2．

Answer 1

分析 先由圆心角与圆周角的关系得到∠AOB=120°，再利用余弦定理得到BD，最后借助于点到直线的距离公式可解得m即可．

解答 解：根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D点，
因为△ABC为等边三角形，所以∠AOB=120°，由余弦定理知：AB=2$\sqrt{6}$，
故BD=$\sqrt{6}$，所以OD=$\sqrt{2}$，
所以O（0，0）到直线AB的距离$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得m=±2，
∵m是正数，
∴m的值为2
故答案为2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查余弦定理，考查点到直线的距离公式，属于中档题．