Question

6．已知函数f（x）=2sinxcosx，x∈R．
（1）若$f（{\frac{α}{2}}）=\frac{3}{5}$，$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，求$cos（{α-\frac{π}{3}}）$的值；
（2）求f（x）的递减区间；
（3）求曲线y=f（x）在坐标原点O处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）若$f（{\frac{α}{2}}）=\frac{3}{5}$，$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，求出cosα，即可求$cos（{α-\frac{π}{3}}）$的值；
（2）由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{3π}{2}$得$kπ+\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{3π}{4}$，即可求f（x）的递减区间；
（3）求出斜率，即可求曲线y=f（x）在坐标原点O处的切线方程．

解答 解：（1）∵f（x）=sin2x，∴$f（{\frac{α}{2}}）=sinα=\frac{3}{5}$．…（1分）
∵$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，∴$cosα=-\frac{4}{5}$．…（2分）
∴$cos（{α-\frac{π}{3}}）=cosαcos\frac{π}{3}+sinαsin\frac{π}{3}$=$-\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}-4}}{10}$．…（4分）
（2）由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{3π}{2}$得$kπ+\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{3π}{4}$，
∴f（x）的递减区间为$[{kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{3π}{4}}]$（k∈Z）．…（8分）
（3）∵f′（x）=2（cosxcosx-sinxsinx）=2cos2x，
∴f′（0）=2，
∴求曲线y=f（x）在坐标原点O处的切线方程为y=2x．

点评 本题考查正弦函数的性质，考查导数几何意义的运用，属于中档题．