空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD.下列命题正确的是①②③④． (写出所有正确命题的编号)①正四面体ABCD的主视图面积可能是$\sqrt{2}$,②正四面体ABCD的主视图面积可能是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,③正四面体ABCD的主视图面积可能是$\sqrt{3}$,④正四面体ABCD的主视图面积可能是2,⑤正四面体ABCD的主视图面� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD，下列命题正确的是①②③④．（写出所有正确命题的编号）
①正四面体ABCD的主视图面积可能是$\sqrt{2}$；
②正四面体ABCD的主视图面积可能是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
③正四面体ABCD的主视图面积可能是$\sqrt{3}$；
④正四面体ABCD的主视图面积可能是2；
⑤正四面体ABCD的主视图面积可能是4．

分析作出正四面体的三视图的各种情况，正视图的最小图形与最大图形，求出正视图的面积，即可得到正确命题．

解答解：对于四面体ABCD，如右图：
当光线平行于底面BCD，沿CD方向时，主视图为图中△ABE，
则其面积为$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{{2}^{2}-（2×\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，故①正确；
当光线平行于底面BCD，沿CO方向时，
主视图为以BD为底，正四面体的高AO为高的三角形，
则其面积为$\frac{1}{2}×2×\sqrt{{2}^{2}-（2×\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，故②正确；
当光线垂直于底面BCD时，主视图为△BCD，
其面积为$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，故③正确；
将正四面体放入正方体中，如上右图，
光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，
其面积为$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，并且此时主视图面积最大，故④正确，⑤不正确．
故答案为：①②③④．

点评本题考查几何体的三视图的应用，能够判断三视图中的正视图的最值图形是解题的难点也是关键点．

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