Question

15．点P（x，y）是椭圆$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$上的一个动点，则x+2y的最大值为$\sqrt{22}$．

Answer 1

分析 利用椭圆的参数方程表示出x+2y，利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得x+2y的最大值．

解答 解：由P在椭圆方程上，设P（$\sqrt{6}$cosθ，2sinθ），（0≤θ≤2π）
则x+2y=$\sqrt{6}$cosθ+4sinθ=$\sqrt{22}$sin（θ+φ），tanφ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
由正弦函数的性质可知：-1≤sin（θ+φ）≤1，
则x+2y的最大值为：$\sqrt{22}$，
故答案为：$\sqrt{22}$．

点评 本题考查椭圆参数方程，辅助角公式，正弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．