Question

14．△ABC中，顶点A（7，1），AB边上的中线CE所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BF所在直线方程为x-2y-5=0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直线BF的斜率，求出AC的斜率，从而求出直线AC的方程，联立AC、CE的方程组，求出C的坐标即可；
（2）设出B的坐标，求出E的坐标，得到关于m，n法方程组，求出B的坐标以及BC的斜率，从而求出直线方程即可．

解答 解：（1）由题意可知${k_{BF}}=\frac{1}{2}$，
∵BF为边AC的高，∴k_AC=-2，…（2分）
∴直线AC的方程为：y-1=-2（x-7），
整理，得2x+y-15=0，…（4分）
联立直线AC与CE的方程组，
得$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-15=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}}\right.$，解之，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=5}\end{array}}\right.$，
∴点C的坐标为（5，5）；…（6分）
（2）设B点的坐标为（m，n），
∵E为AB中点，∴$E（\frac{m+7}{2}，\frac{n+1}{2}）$，
∵E在直线CE上，∴$2•\frac{m+7}{2}-\frac{n+1}{2}-5=0$，
∴2m-n+3=0，…（8分）
又∵B在直线BF上，∴m-2n-5=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2m-n+3=0}\\{m-2n-5=0}\end{array}}\right.$∴$\left\{{\begin{array}{l}{m=-\frac{11}{3}}\\{n=-\frac{13}{3}}\end{array}}\right.$，
∴$B（-\frac{11}{3}，-\frac{13}{3}）$，…（10分）
∴${k_{BC}}=\frac{{5+\frac{13}{3}}}{{5+\frac{11}{3}}}=\frac{14}{13}$，
∴直线BC的方程为$y-5=\frac{14}{13}（x-5）$，
即14x-13y-5=0．…（12分）

点评 本题考查了求直线方程以及直线的斜率问题，考查直线的垂直关系，是一道中档题．