Question

9．等差数列{a_n}中，S₃=12，a₅=2a₂-1．
（Ⅰ）求数列的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n}}{a{{\;}_{n}a}_{n+2}}$}的前n（n≥2）项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设公差为d，根据题意可得关于a₁，d的方程组，求出a₁，d，即可求出通项公式，
（Ⅱ）根据裂项求和即可．

解答 解：（Ⅰ）等差数列{a_n}中，S₃=12，a₅=2a₂-1，
设公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=12}\\{{a}_{1+}4d=2{a}_{1}+2d-1}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）=n+2；
（Ⅱ）$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n}}{a{{\;}_{n}a}_{n+2}}$=$\frac{（n+2）+2-n-2}{（n+2）（n+4）}$=$\frac{2}{（n+2）（n+4）}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+4}$，
∴S_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+4}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$=$\frac{7}{12}$-$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，以及裂项求和，属于中档题