Question

如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB="4," BC="CD=2, " AA="2, " E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
（1）  证明：直线EE//平面FCC；
求二面角B-FC-C的余弦值。

Answer 1

（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，
连接A₁D，C₁F₁，CF₁，因为AB="4," CD=2,且AB//CD，
所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形，所以CF₁//A₁D，
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE₁//A₁D，
所以CF₁//EE₁，又因为平面FCC，平面FCC，
所以直线EE//平面FCC.

（2）因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以OB⊥平面CC₁F,过O在平面CC₁F内作OP⊥C₁F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.

解法二:（1）因为AB="4," BC="CD=2," F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,
连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD₁为z轴建立空间直角坐标系,
,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,
C₁（0,2,2）,E（,,0）,E₁（,-1,1）,所以,,设平面CC₁F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.
（2）,设平面BFC₁的法向量为,则所以,取,则,
,, 
所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为

略