Question

6．△PF₁F₂的一个顶点P（7，12）在双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，另外两顶点F₁、F₂为该双曲线的左、右焦点，则△PF₁F₂的内心坐标为（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 通过已知条件求出b，充分利用平面几何图形的性质解题．因从同一点出发的切线长相等，得PM|=|PN|，|F₁M|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，再结合双曲线的定义得|F₁D|-|F₂D|=2a，从而即可求得△PF₁F₂的内心的横坐标．

解答 解：P（7，12）在双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，
所以49-$\frac{144}{{b}^{2}}$=1，b²=3，
双曲线方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
记△PF₁F₂的内切圆圆心为C，边PF₁、PF₂、F₁F₂上的切点分别为M、N、D，易见C、D横坐标相等，
|PM|=|PN|，|F₁M|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，由|PF₁|-|PF₂|=2，
即：|PM|+|MF₁|-（|PN|+|NF₂|）=2，得|MF₁|-|NF₂|=2即|F₁D|-|F₂D|=2，
记C的横坐标为x₀，则D（x₀，0），
于是：x₀+c-（c-x₀）=2，
得x₀=1，
|PF₁|=$\sqrt{（{7+2）}^{2}+（{12-0）}^{2}}$=15，|PF₂|=$\sqrt{（7-2）^{2}+（12-0）^{2}}$=13，
设纵坐标为r，则：$\frac{1}{2}×4×12$=$\frac{1}{2}×$（4+13+15）•r，解得r=$\frac{3}{2}$．
故答案为：（1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了双曲线的定义、双曲线的应用及转化问题的能力，属于中档题．