Question

17．已知函数φ（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）讨论φ（x）的单调性；
（2）设f（x）=φ（x）-$\frac{1}{2}$x³，当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a＞$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²对x∈（0，+∞）恒成立，设g（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²（x＞0），求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）φ′（x）=$\frac{1-ax}{x}$，（x＞0），
a≤0时，φ′（x）＞0恒成立，
则φ（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
则φ（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，
令φ′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
则φ（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减；
（2）x＞0时，f（x）＜0恒成立，则lnx-ax-$\frac{1}{2}$x³＜0，
即a＞$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²对x∈（0，+∞）恒成立，
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{2}$x²（x＞0），
g′（x）=$\frac{1-lnx{-x}^{3}}{{x}^{2}}$，
设h（x）=1-lnx-x³（x＞0），
h′（x）=-$\frac{1}{x}$-3x²＜0，
故h（x）在（0，+∞）递减，
又h（1）=0，则0＜x＜1时，h（x）＞0，g′（x）＞0，
x＞1时，h（x）＜0，g′（x）＜0，
故g（x）_max=g（1）=-$\frac{1}{2}$，
故a＞-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．