Question

14．用数学归纳方法证明：2²+4²+6²+…+（2n）²=$\frac{2}{3}$n（n+1）（2n+1）（n∈N*）．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 证明：①n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；
②假设n=k时等式成立，即2²+4²+6²+…+（2k）²=$\frac{2}{3}$k（k+1）（2k+1）
那么，当n=k+1时，2²+4²+6²+…+（2k）²+[2（k+1）]²，
=$\frac{2}{3}$k（k+1）（2k+1）+[2（k+1）]²，
=$\frac{2}{3}$（k+1）（2k²+k+6k+6），
=$\frac{2}{3}$（k+1）（k+2）（2k+3），
=$\frac{2}{3}$（k+1）[（k+1）+1][2（k+1）+1]，
等式成立．
由①②可知，等式对任何正整数n都成立．

点评 本题考查数学归纳法，掌握数学归纳法的证题步骤与思路，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．