设数列{an}满足a1=1.an+1=Aan+$\frac{B}{{a} {n}}$+C(n∈N*)(Ⅰ)若A=2.B=0.C=1.求证:{an+1}是等比数列.并求{an}通项公式,(Ⅱ)若A=1.B=1.C=0(i)求证:2≤an+12-an2≤3(ii)求证:$\frac{3n-1}{3n-2}$≤$\frac{{a} {n+1}}{{a} {n}}$≤$\frac{2n}{2n-1}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=Aa_n+$\frac{B}{{a}_{n}}$+C（n∈N^*）
（Ⅰ）若A=2，B=0，C=1，求证：{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}通项公式；
（Ⅱ）若A=1，B=1，C=0
（i）求证：2≤a_n+1²-a_n²≤3
（ii）求证：$\frac{3n-1}{3n-2}$≤$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤$\frac{2n}{2n-1}$．

分析（Ⅰ）通过在不等式a_n+1=2a_n+1两边同时加上1可构造首项、公比均为2的等比数列{a_n+1}，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过A=1，B=1，C=0可得a_n≥1．（i）将a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$两边同时平方，结合a_n≥1可得结论；（ii）通过分析可知问题即证2n-1≤a_n²≤3n-2，结合（i）结论，利用累加法计算即得结论．

解答（Ⅰ）解：∵A=2，B=0，C=1，
∴a_n+1=2a_n+1，a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a_n=-1+2ⁿ；
（Ⅱ）证明：∵A=1，B=1，C=0，
∴a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵a₁=1，
∴a_n≥1．
（i）∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+2+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
又∵0＜$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤1，
∴2＜2+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤3，即2≤a_n+1²-a_n²≤3；
（ii）要证：$\frac{3n-1}{3n-2}$≤$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≤$\frac{2n}{2n-1}$，
即证$\frac{1}{3n-2}$≤$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤$\frac{1}{2n-1}$，
即证2n-1≤a_n²≤3n-2，
又由（i）可知2≤a_n²-a_n-1²≤3，2≤a_n-1²-a_n-2²≤3，…，2≤a₂²-a₁²≤3，
累加得：2（n-1）≤a_n²-a₁²≤3（n-1），
由a₁=1可知2n-1≤a_n²≤3n-2，从而命题得证．

点评本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查分析法、累加法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

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