Question

（Ⅰ）设集合A={1，2，3，…，10}，求集合A的所有非空子集元素和的和．
（Ⅱ）已知集合A={-4，2a-1，a²}，B={a-1，1-a，9}，已知A∩B={9}，求实数a的值．

Answer 1

考点：交集及其运算,元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（Ⅰ）先计算出包含元素1的集合：剩下的9个元素组成的集合含有2⁹个子集，包括空集，同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出现了2⁹次，从而得出集合M的所有非空子集元素和的和．
（Ⅱ）由交集的运算和题意列出方程，求出a的值，再代入集合验证条件和元素的互异性．

解答： 解：（Ⅰ）由10个元素组成的集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{4}…{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，…共2¹⁰个．
先计算出包含元素1的集合：剩下的9个元素组成的集合含有2⁹个子集，
在集合M的所有非空子集中，元素1出现了2⁹次，
同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出现了2⁹次
故集合M的所有非空子集元素和的和为：（1+2+3+4+…+10）×2⁹=55×2⁹=28160；
（Ⅱ）因为A∩B={9}，A={-4，2a-1，a²}，B={a-1，1-a，9}，
所以2a-1=9或a²=9，
解得：a=5或±3
当a=5时，1-a=-4，
当a=-3时，a-1=-4，不满足A∩B={9}，
所以a≠5且a≠-3，
而当a=3时，A={-4，5，9}、B={-2，2，9}，满足题意．
∴实数a的值为3．

点评：本题考查集合的子集个数问题，子集与真子集、数列求和，以及交集的运算，注意验证条件和元素的互异性，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．