Question

已知函数，函数是函数的导函数.

（1）若，求的单调减区间；

（2）若对任意，且，都有，求实数的取值范围；

（3）在第（2）问求出的实数的范围内，若存在一个与有关的负数，使得对任意时恒成立，求的最小值及相应的值.

 

Answer 1

（1）单调减区间为（2）（3）当时，的最小值为

【解析】（1）当时，， ……………1分

由解得 ………………2分

当时函数的单调减区间为；…………3分

（2）易知

依题意知

……………………………………………………5分

因为，所以，即实数的取值范围是 ；…………6分

（3）解法一：易知，.

显然，由（2）知抛物线的对称轴…………7分

①当即时，且

令解得………………8分

此时取较大的根，即 ……………9分

， …………………10分

②当即时，且

令解得………………11分

此时取较小的根，即…………12分

， 当且仅当时取等号……13分

由于，所以当时，取得最小值 ………………14分

解法二：对任意时，“恒成立”等价于“且”

由（2）可知实数的取值范围是

故的图象是开口向上，对称轴的抛物线…7分

①当时，在区间上单调递增，

∴，

要使最小，只需要

………8分

若即时，无解

若即时，………………9分

解得（舍去） 或

故（当且仅当时取等号）…………10分

②当时，在区间上单调递减，在递增，

则，…………………11分

要使最小，则即

………………………………………………………12分

解得（舍去）

或（当且仅当时取等号）…13分

综上所述，当时，的最小值为.………………………………14分