【题目】如果数列对任意的
满足:
,则称数列
为“
数列”.
(1)已知数列是“
数列”,设
,求证:数列
是递增数列,并指出
与
的大小关系(不需要证明);
(2)已知数列是首项为
,公差为
的等差数列,
是其前
项的和,若数列
是“
数列”,求
的取值范围;
(3)已知数列是各项均为正数的“
数列”,对于
取相同的正整数时,比较
和
的大小,并说明理由.
【答案】(1);(2)
(3)
,证明见解析.
【解析】
(1)由新定义,结合单调性的定义可得数列是递增数列;再根据
,
,可得
;
(2)运用新定义和等差数列的求和公式,解绝对值不等式即可得到所求范围;
(3)对一切,有
.运用数学归纳法证明,注意验证
成立;假设
不等式成立,注意变形和运用新定义,即可得证.
(1)证明:数列是“
数列”,可得
,
即,即
,
可得数列是递增数列,
.
(2)数列是“
数列”,
可得,
即,
可得,
即有,或
,或
,
即或
或
,
所以.
(3)数列是各项均为正数的“
数列”,
对于取相同的正整数时,
,
运用数学归纳法证明:
当时,
,
,显然
即
.
设时,
.即
,
可得,
当时,即证
,
即证,
由
,
即证
即证,
由,
,
,
,
相加可得,
则对一切,有
.
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【题目】对于函数,
且
的定义域为
,
.
(1)求实数的值,使函数
为奇函数;
(2)在(1)的条件下,令,求使方程
,
有解的实数
的取值范围;
(3)在(1)的条件下,不等式对于任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)=(x﹣1)2﹣1的图象如图所示,
(1)请补全函数f(x)的图象并写出它的单调区间.
(2)根据图形写出函数f(x)的解析式.
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【题目】以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线
的参数方程是
(m>0,t为参数),曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与
轴交于点
,与曲线
交于点
,且
,求实数
的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
相交于
两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(Ⅱ)若,求
的值.
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【题目】在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且.
(1)当λ,求|
|;
(2)求的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为边长为2的菱形,
,
,面
面
,点
为棱
的中点.
(1)在棱上是否存在一点
,使得
面
,并说明理由;
(2)当二面角的余弦值为
时,求直线
与平面
所成的角.
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【题目】某次的一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
(Ⅰ)求参加测试的总人数及分数在[80,90)之间的人数;
(Ⅱ)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,恰有一份分数在[90,100)之间的概率.
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