Question

【题目】已知两定点F1（﹣ ，0），F2（ ，0），满足条件|PF2|﹣|PF1|=2的点P的轨迹是曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点（0，﹣1）的直线与曲线E交于A，B两点．如果|AB|=6 ，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F1（﹣ ，0），F2（ ，0）为焦点的双曲线的左支，且c= ，a=1，

∴b= =1，故曲线E的方程为x2﹣y2=1（x＜0）

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组 ，消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0，

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有 ，

解得﹣ ＜k＜﹣1．

∵|AB|= = =2 = ，

∴28k4﹣55k2+25=0，

∴ 或 ，

∵﹣ ＜k＜﹣1，

∴ ，

∴直线AB的方程为

【解析】（1）根据条件|PF2|﹣|PF1|=2，利用双曲线的定义，可求曲线E的方程；（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左支交于两点A，B，求出k的范围，再利用|AB|=6 ，求出k的值，从而可求直线AB的方程．