Question

11．数列{a_n}中，若a₁=3，$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由题意化简可得ln（a_n+1）=2lna_n，从而可得数列{lna_n}是以ln3为首项，2为公比的等比数列，从而求得．

解答 解：易知a_n＞0，∵$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n，
∴$\frac{1}{2}$ln（a_n+1）=lna_n，ln（a_n+1）=2lna_n，
∴数列{lna_n}是以ln3为首项，2为公比的等比数列，
∴lna_n=ln3•2^n-1=$ln{3}^{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$，
故答案为：${3}^{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断，同时考查了构造法的应用及转化思想的应用．