Question

已知平面上三个向量

OA

，

OB

，

OC

，满足|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，|

OC

|=2，

OA

•

OB

=0，则

CA

•

CB

最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由于满足|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，|

OC

|=2，

OA

•

OB

=0，建立如图所示的直角坐标系，可得A（1，0），B(0，

3

)，可设C（2cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π）．再利用向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．

解答： 解：∵满足|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，|

OC

|=2，

OA

•

OB

=0，
如图所示，
∴A（1，0），B(0，

3

)，
可设C（2cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π）．
∴

CA

=（1-2cosθ，-2sinθ），

CB

=(-2cosθ，

3

-2sinθ)，
∴

CA

•

CB

=-2cosθ(1-2cosθ)-2sinθ(

3

-2sinθ)
=-2cosθ-2

3

sinθ+4
=-4(

1

2

cosθ+

3

2

sinθ)+4
=-4sin(θ+

π

6

)+4≤8，当且仅当θ=

4π

3

时取等号．
∴

CA

•

CB

最大值是8．
故答案为：8．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性，属于中档题．