Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）是满足f（x）+f（﹣x）=0，在（﹣∞，0）上 ，且f（5）=0，则使f（x）＜0的x取值范围是

Answer 1

【答案】【分析】由条件及奇函数、减函数的定义便知f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0），（0，+∞）上为减函数，且有f（﹣5）=f（5）=0，从而可分别讨论x＞0，和x＜0从而得出 ，或 ，这样根据f（x）的单调性即可得出x的取值范围．
【解析】解：根据条件知，f（x）在R上为奇函数，在（﹣∞，0）上单调递减；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣5）=f（5）=0；
∴①x＞0时，由f（x）＜0得，f（x）＜f（5）；
∴x＞5；
②x＜0时，由f（x）＜0得，f（x）＜f（﹣5）；
﹣5＜x＜0；
∴x的取值范围为（﹣5，0）∪（5，+∞）．
所以答案是：（﹣5，0）∪（5，+∞）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．