Question

设0＜x₁＜x₂＜

π

2

．
（Ⅰ）证明：x₁＞sinx₁
（Ⅱ）x₁sinx₂cosx₁＞x₂sinx₁cosx₂．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）构造函数f（x）=x-sinx （0＜x＜

π

2

），利用导数证明其为增函数，则结论可证；
（Ⅱ）构造函数g（x）=xcotx （0＜x＜

π

2

），利用导数证明其为增函数，则结论可证．

解答： 证明：（Ⅰ）令f（x）=x-sinx （0＜x＜

π

2

），
∴f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx （0＜x＜

π

2

）为增函数，
∵0＜x₁＜

π

2

，
∴f（x₁）＞f（0），即x₁-sinx₁＞0，
∴x₁＞sinx₁；
（Ⅱ）令g（x）=xcotx （0＜x＜

π

2

），
则g′（x）=cotx-xcsc²x=

sinxcosx-x

sin2x

＜0，
∴g（x）=xcotx （0＜x＜

π

2

）为减函数，
∵0＜x₁＜x₂＜

π

2

，
则x1

cosx1

sinx1

＞x2

cosx2

sinx2

，即x₁sinx₂cosx₁＞x₂sinx₁cosx₂．

点评：本题考查了综合法证明三角不等式，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．