Question

在数列{a_n}中，a₁=1，并且对于任意n∈N^*，都有．a_n+1=

an

2an+1

（1）证明数列{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_na_n+1}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

1

a1

=1，

1

an+1

=

2an+1

an

=

1

an

+2，由此能证明{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，从而得到a_n=

1

2n-1

．
（2）由a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项求和法能求出数列{a_na_n+1}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：∵在数列{a_n}中，a₁=1，
并且对于任意n∈N^*，都有．a_n+1=

an

2an+1

，
∴

1

a1

=1，

1

an+1

=

2an+1

an

=

1

an

+2，
∴{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴

1

an

=1+（n-1）•2=2n-1，
∴a_n=

1

2n-1

．
（2）解：∵a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．