Question

设0＜a＜c，0＜b＜c，试证明不等式：

a2+b2

+

(c-a)2+b2

+

a2+(c-b)2

+

(c-a)2+(c-b)2

≥2

2

c．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：将边长为c的正方形分成边长为a，c-a，b，c-b的不同矩形，利用勾股定理，结合两点之间线段最短，即可证明结论．

解答： 证明：如图所示，将边长为c的正方形分成边长为a，c-a，b，c-b的不同矩形，
则AE=

a2+b2

，CE=

(c-a)2+(c-b)2

，BE=

a2+(c-b)2

，DE=

(c-a)2+b2

，
由于两点之间线段最短，得出AE+BE+CE+DE≥2

2

AC，
∴

a2+b2

+

(c-a)2+b2

+

a2+(c-b)2

+

(c-a)2+(c-b)2

≥2

2

c．

点评：本题考查不等式的证明，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确构造图形是关键．