Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=

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2

BB₁，D是BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面ADC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）设BC=

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，求几何体A₁B₁DCC₁的体积．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明DA₁⊥面DAC，可得平面ADC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）几何体A₁B₁DCC₁的体积等于三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积减去四棱锥C-ABDA₁的体积．

解答： （Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，∴CA⊥面AA₁B₁B，∴CA⊥DA₁，
又∵BA=AC=

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BB1，D是BB1的中点，∴DA⊥DA₁，
∵CA∩DA=A，
∴DA₁⊥面DAC，
∵DA₁?平面A₁DC，
∴平面ADC⊥平面A₁DC．
（Ⅱ）解：几何体A₁B₁DCC₁的体积等于三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积减去四棱锥C-ABDA₁的体积，
∵BC=

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，∠BAC=90°，AB=AC=

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BB₁，
∴AB=AC=1，BB₁=2
∵VABC-A1B1C1=S△ABCh=1，VC-ABDA1=

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，
∴几何体A₁B₁DCC₁的体积等于

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2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．