Question

已知f（x）=2sin（2x-

π

3

）．
（1）求f（x）的最大值及f（x）取到最大值时自变量x的值；
（2）若g（x）=f（x）+2013，求g（x）的图象的对称中心；
（3）当x∈[0，m]时，函数y=f（x）的值域为[-

3

，2]，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用正弦函数的图象与性质，可得f（x）的最大值及f（x）取到最大值时自变量x的值；
（2）利用正弦函数的图象与性质，可得g（x）的图象的对称中心；
（3）做出函数的图象，可得m的最大值为[

5

12

π，

11

12

π]内使函数值为-

3

的值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

），
∴sin（2x-

π

3

）=1，f_max（x）=2…（2分）
2x-

π

3

=2kπ+

π

2

x=kπ+

5

12

π    k∈Z…（5分）
（2）g(x)=2sin(2x-

π

3

)+2013，则
令2x-

π

3

=kπ，x=

kπ

2

+

π

6

(k∈Z)…（8分）
∴对称中心为(

kπ

2

+

π

6

，2013)…10分
（3）作f(x)=2sin(2x-

π

3

)的图象如图
…（13分）
∵x∈[0，m]时，y最大值为2
∴m≥

5

12

π…（14分）
又y=f（x）在[

5

12

π，

11

12

π]上递减
故m的最大值为[

5

12

π，

11

12

π]内使函数值为-

3

的值
令2sin(2x-

π

3

)=-

3

，∴x=

5

6

π…（15分）
∴

5

12

π≤m≤

5

6

π…（16分）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．