Question

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b-2（a≠1）的图象过原点，且在原点处的切线的斜率是-3，则不等式组

x-ay≥0 x-by≥0

所确定的平面区域在圆x²+y²=4内的面积为（　　）

• A、π
• B、

  π

  2

• C、

  π

  3

• D、2π

Answer 1

考点：二元一次不等式（组）与平面区域

专题：直线与圆

分析：利用函数f（x）的图象过原点，得到b=0，然后利用导数的几何意义得到f'（0）=-3，然后求解a即可，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用扇形面积公式计算即可．

解答： 解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．
函数的导数f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2），
因为原点处的切线斜率是-3，
即f'（0）=-3，
所以f'（0）=-a（a+2）=-3，即a²+2a-3=0，解得a=-3或a=1（舍去）
所以：a=-3，b=2，
所以不等式组

x-ay≥0 x-by≥0

为

x+3y≥0 x-2y≥0

则不等式组

x+3y≥0 x-2y≥0

所确定的平面区域在圆x²+y²=4内的面积，如图阴影部分表示，
所以圆内的阴影部分扇形即为所求．
∵k_OB=-

1

3

，k_OA=

1

2

，
∴tan∠BOA=

1 2 -(- 1 3 )

1+ 1 2 ×(- 1 3 )

=1，
∴∠BOA=

π

4

，
∴扇形的圆心角为

π

4

，扇形的面积是圆的面积的八分之一，
∴圆x²+y²=4在区域D内的面积为

1

8

×4×π=

π

2

，
故选：B

点评：本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数的关系是解决本题的关键．用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．