Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（x-2）．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）当a取何值时，方程f（x）=a在R上有两个解？

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x＜0时，-x＞0，根据已知中x＜0，则-x＞0，结合函数的奇偶性的性质求函数f（x）的解析式．
（2）画出函数f（x）的图象，借助图象可得a的取值范围．

解答： 解：（1）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=-x（-x-2）=x（x+2），
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=x（x+2），
∴函数f（x）的解析式为f（x）=

x(x-2)，x≥0 x(x+2)，x＜0

，
（2）由（1）中函数解析式可得，函数f（x）的图象如下图所示：

由图可知：当a=-1，或a＞0时，f（x）=a在R上有两个解

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的对称性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用．