Question

△ABC中，∠A=60°，点D在边AC上，DB=

3

，且

BD

=λ（

BA

| BA |sinA

+

BC

| BC |sinC

）（λ＞0），则AC+AB的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：根据

BD

=λ(

BA

| BA |sinA

+

BC

| BC |sinC

)容易判断点D为AC的中点，所以在△ABD中，由余弦定理得：3=AB²+AD²-2AB•ADcos∠A，将AD=

1

2

AC，∠A=60°带入并整理以及根据基本不等式可得，4AB²+AC²-12=2AB•AC≤AB²+AC²，（AB=AC时取“=“），这样即可求得AB，AC的最大值，所以求得AC+AB的最大值．

解答： 解：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，取AC中点F，连接BF，则：

BD

=λ(

BA

|BE|

+

BC

|BE|

)=

λ

|BE|

(

BA

+

BC

)=

2λ

|BE|

BF

；
∴

BD

与

BF

共线，∴D点和F点重合，∴D是AC的中点；
∴在△ABD中由余弦定理得：3=AB²+AD²-2AB•ADcos60°=AB2+(

1

2

AC)2-AB•(

1

2

AC)=AB2+

1

4

AC2-

1

2

AB•AC；
∴4AB²+AC²-12=2AB•AC≤AB²+AC²，∴AB²≤4，（当且仅当AB=AC时取“=“）；
∴AB最大为2，此时AC取最大2，∴AC+AB的最大值为4．

点评：考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，余弦定理，基本不等式．