Question

自点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x²+y²-4x-4y+7=0相切
（1）求反射光线所在的直线方程（用一般式表示）；
（2）光线自A到切点所经过的路程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）已知圆的标准方程是（x-2）²+（y-2）²=1，它关于x轴的对称圆的方程是（x-2）²+（y+2）²=1，设光线L所在直线方程是：y-3=k（x+3），由题设知，对称圆的圆心C′（2，-2）到这条直线的距离等于1，由此能求出所求的直线方程．
（2）先求P点的对称点到圆心的距离，再利用勾股定理求得P点的对称点到切点的距离，即为光线从P点到切点所经过的路程．

解答： 解：（1）已知圆的标准方程是（x-2）²+（y-2）²=1，
它关于x轴的对称圆的方程是（x-2）²+（y+2）²=1．
设光线L所在直线方程是：y-3=k（x+3），
由题设知，对称圆的圆心C′（2，-2）到这条直线的距离等于1，
即d=

|5k+5|

1+k2

=1，
整理得，12k²+25k+12=0，
解得：k=-

3

4

或k=-

4

3

，
故所求的直线方程是y-3=-

3

4

(x+3)或y-3=-

4

3

（x+3），
即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0．
（2）根据光线的对称性，P（-3，3）关于x轴的对称点为A（-3，-3），
光线从A点到切点所经过的路程等于A点到切点所经过的路程，
A点（-3，-3）到圆心C（2，2）的距离为

(-3-2)2+(-3-2)2

=

50

，
∴P点到切点所经过的路程为

50-1

=7．

点评：本题考查了利用求对称直线解决光线问题，本题也可通过求得圆关于x轴的对称圆，再求对称圆的切线所在直线方程及切线长来解答．