Question

(12分)如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点,平面ABC

（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A－A₁D－B的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面A₁BD的距离.

Answer 1

（1）见解析（2）二面角的余弦值为．（3）．

解析试题分析：(1)证明线面垂直，根据其判定定理，只须证明AB₁垂直这个面内的两条相交直线即可，本小题显然应证：.
(2)利用空间向量法求二面角，先求出二面角两个面的法向量，然后再利用求解即可.
(3)利用空间向量法点C到平面的距离根据来解即可.
（1）取中点，连结． 为正三角形，．
在正三棱柱中，  平面平面，平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．
，，
，． 平面．
（2）设平面的法向量为．
，．，，
令得
由（1）知平面，为平面的法向量．
   二面角的余弦值为．
（3）由（2），为平面法向量，  ．
点到平面的距离．
考点：空间向量法证明线面垂直，求二面角，点到直线的距离，线面垂直的判定定理.
点评：掌握线线、线面、面面的平行与垂直判断与性质是解决此类问题的前提.