Question

13．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=1，则方程f（x）-f′（x）=1的解所在区间正确的序号是③．
①（0，$\frac{1}{2}}$），②（${\frac{1}{2}$，1）③（1，2）④（2，3）

Answer 1

分析 由设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=1，求出f（x）=lnx+1，则方程f（x）-f′（x）=1的解可转化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，根据零点存在定理即可判断

解答 解：令f（x）-lnx=t，由函数f（x）单调可知t为正常数，
则f（x）=t+lnx，且f（t）=1，即t+lnt=1，
解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-lnx为定值，
设t=f（x）-lnx，
则f（x）=lnx+t，
又由f（t）=1，
即lnt+t=1，
解得：t=1，
则f（x）=lnx+1，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f（x）-f′（x）=lnx+1-$\frac{1}{x}$=1，
即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
则方程f（x）-f′（x）=1的解可转化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，
令h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
而h（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，h（1）=ln1-1＜0，
∴方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解所在区间为（1，2），
∴方程f（x）-f′（x）=e的解所在区间为（1，2），
故答案为：③．

点评 本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出f（x），属于中档题．