Question

1．设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（3）无论a为何实数值，直线l恒过定点M．求定点M．

Answer 1

分析 （1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用 l在两坐标轴上的截距相等 建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．
（2）把直线l的方程可化为 y=-（a+1）x+a-2，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-（a+1）≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，解不等式组求得a的范围．
（3）通过变量分离法得到两条相关的曲线方程，联列方程组得到定点坐标．

解答 解：（1）令x=0，得y=a-2． 
令y=0，得x=$\frac{a-2}{a+1}$（a≠-1）．
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a-2=$\frac{a-2}{a+1}$，解之，得a=2或a=0．
∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．
（2）直线l的方程可化为 y=-（a+1）x+a-2．
∵l不过第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（a+1）≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，
∴a≤-1．
∴a的取值范围为（-∞，-1]．
（3）∵（a+1）x+y-2-a=0（a∈R），
∴a（x-1）+（x+y-2）=0．
令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴直线l：（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）必过定点（1，-3）．

点评 本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素．直线过定点问题，可以用参变量分离法，还可以用特殊值代入法．