Question

已知命题p：不等式x²+kx+1≥0对于一切x∈R恒成立，命题q：已知方程x²+（2k-1）x+k²=0有两个大于1的实数根，若p且q为真，p或q为假．求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为真，p或q为假．确定实数k的取值范围．

解答：解：要使不等式x²+kx+1≥0对于一切x∈R恒成立，
则△=k²-4≤0，解得-2≤k≤2，即p：-2≤k≤2，
若方程x²+（2k-1）x+k²=0有两个大于1的实数根，
设f（x）=x²+（2k-1）x+k²，
则满足条件

△=(2k-1)2-4k2≥0 - 2k-1 2 ＞1 f(1)＞0

即

k≤ 1 4 k＜- 1 2 k＜-2或k＞10

，
解得k＜-2，即q：k＜-2．
要使p且q为真，p或q为假，则p，q一真一假．
①若p真q假，则

-2≤k≤2 k＜2

，解得-2≤k＜2．
②若p假q真，则

k≤-2或k≥2 k＜-2

，解得k＜-2．
综上：k≤2．
即实数k的取值范围是k≤2．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．