Question

6．已知函数$f（x）=mlnx+\frac{3}{2}{x^2}-4x$．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直，求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=x³-4，若h（x）=f（x）-g（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数m的取值范围，并分析方程$2lnx+\frac{3}{2}{x^2}+4={x^3}+4x$在（1，+∞）上实根的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，解得m，代入f（x），求出函数的单调区间，进而求出函数的极值；
（2）求出函数h（x）的导数，问题转化为m≤3x³-3x²+4x在（1，+∞）上恒成立，令φ（x）=3x³-3x²+4x，根据函数的单调性求出m的范围，从而求出函数的零点问题．

解答 解：（1）由$f（x）=mlnx+\frac{3}{2}{x^2}-4x$可得f′（x）=$\frac{m}{x}$+3x-4，
由题意知f'（1）=m+3-4=0，解得m=1，
所以f（x）=lnx+$\frac{3}{2}$x²-4x，f′（x）=$\frac{（3x-1）（x-1）}{x}$，（x＞0）．
当f'（x）＞0时，得$0＜x＜\frac{1}{3}$或x＞1；
当f'（x）＜0时，得$\frac{1}{3}＜x＜1$．
所以f（x）的单调递增区间为$（0，\frac{1}{3}），（1，+∞）$，单调递减区间为$（\frac{1}{3}，1）$，
所以f（x）的极大值为$f（\frac{1}{3}）=ln\frac{1}{3}+\frac{3}{2}×\frac{1}{9}-4×\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}-ln3$，
极小值为$f（1）=0+\frac{3}{2}-4=-\frac{5}{2}$…（4分）
（2）由$h（x）=f（x）-g（x）=mlnx+\frac{3}{2}{x^2}-4x-{x^3}+4$可得$h'（x）=\frac{m}{x}+3x-4-3{x^2}$，
由h（x）在（1，+∞）上单调递减可得$h'（x）=\frac{m}{x}+3x-4-3{x^2}≤0$在（1，+∞）上恒成立，
即m≤3x³-3x²+4x在（1，+∞）上恒成立，
令φ（x）=3x³-3x²+4x，则φ'（x）=9x²-6x+4=（3x-1）²+3＞0，
所以φ（x）=3x³-3x²+4x在（1，+∞）上单调递增．
故φ（x）＞3-3+4=4，
所以m≤4，即实数m的取值范围是（-∞，4]，…（8分）
则m=2时，$h（x）=f（x）-g（x）=2lnx+\frac{3}{2}{x^2}-4x-{x^3}+4$在（1，+∞）上单调递减．
而$h（1）=0+\frac{3}{2}-4-1+4=\frac{1}{2}＞0，h（2）=2ln2+\frac{3}{2}×{2^2}-4×2-{2^3}+4=2ln2-6＜0$，
故$h（x）=2lnx+\frac{3}{2}{x^2}-4x-{x^3}+4$在（1，+∞）上恰好有1个零点，
所以方程$2lnx+\frac{3}{2}{x^2}-4x-{x^3}+4=0$在（1，+∞）上恰好有1个实根，
即方程$2lnx+\frac{3}{2}{x^2}+4={x^3}+4x$在（1，+∞）上恰好有1个实根…（12分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道综合题．