Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$sinB（sinC+\sqrt{3}cosC）-\sqrt{3}$sinA=0，b=$\sqrt{3}$．
（1）设△ABC的周长L=f（A），求f（A）的表达式，并求L的最大值；
（2）若a+c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）将sinA=sin（B+C）代入条件式展开即可整理得出B，使用正弦定理用A表示出a，c得出L关于A的表达式f（A），利用A的范围和正弦函数的性质求出L的最大值；
（2）利用余弦定理解出ac，代入面积公式得出三角形的面积．

解答 解：（1）∵$sinB（sinC+\sqrt{3}cosC）-\sqrt{3}sinA=0$，∴$sinB（sinC+\sqrt{3}cosC）-\sqrt{3}sin（B+C）=0$，
即$sinB（sinC+\sqrt{3}cosC）-\sqrt{3}sinBcosC-\sqrt{3}cosBsinC=0$，∴$sinBsinC-\sqrt{3}cosBsinC=0$，
∵sinC≠0，∴$sinB-\sqrt{3}cosB=0$，
∴$tanB=\sqrt{3}$，B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=2$，∴a=2sinA，c=2sinC=2sin（$\frac{2π}{3}-A$）．
∴L=a+b+c=2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}-A$）+$\sqrt{3}$=3sinA+$\sqrt{3}$cosA+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$．
∴f（A）=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
∴当$A=\frac{π}{3}$时，${L_{max}}=3\sqrt{3}$．
（2）在△ABC中，∵b²=a²+c²-2ac•cosB，即3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=4-3ac，
∴$ac=\frac{1}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．