Question

1．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx$，（其中常数a∈R）．
（1）若f（x）在x=1时取得极值，求a的值．
（2）若a=2，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在x=1时取得极值，则f′（1）=0，根据已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，代入即可构造关于a的方程，解方程即可得到答案．
（2）求出导函数的解析式，解关于导函数的不等式，即可确定f（x）的单调区间；

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∵f′（1）=0，解得：a=1；
（2）a=2时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{2}$）递减，在（$\sqrt{2}$，+∞）递增．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性问题，是一道基础题．