Question

9．函数f（x）=ax³+3x²+3x（a≠0）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）内是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=1代入f（x），求出函数的导数，得到f（1）和f′（1）的值，从而求出切线方程即可；
（Ⅱ）法一：分离参数法求出a的范围，法二：根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f （x）=x³+3x²+3x，f′（x）=3x²+6x+3，
∴f（1）=7，f′（1）=12，…（3分）
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-7=12（x-1），
即12x-y-5=0．…（5分）
（Ⅱ）（法一）f′（x）=3ax²+6x+3≥0，在区间（1，2）上恒成立，
即$a\;≥\;-\frac{2x+1}{x^2}=-（\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}）$，…（7分）
而y=$-（\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}）$在区间（1，2）是增函数，
则$y＜-（\frac{1}{4}+1）=-\frac{5}{4}$，∴$a\;≥\;-\frac{5}{4}$，…（11分）
又a≠0，∴a的取值范围是$[-\frac{5}{4}\;，\;\;0）$∪（0，+∞）．                        …（12分）
（法二）当a＞0，1＜x＜2时，f′（x）=3ax²+6x+3＞0，
当a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，符合题意．                       …（7分）
当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当f′（1）≥0且f′（2）≥0，
解得-$\frac{5}{4}$≤a＜0．…（11分）
综上，a的取值范围是$[-\frac{5}{4}\;，\;\;0）$∪（0，+∞）．                            …（12分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．