Question

20．已知函数f（x）=x³-ax²，a∈R．
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）与直线y=x-1只有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；
（2）把曲线y=f（x）与直线y=x-1只有一个交点转化为关于x的方程ax²=x³-x+1只有一个实根，进一步转化为方程a=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$只有一个实根．构造函数
g（x）=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，利用导数分析其单调性，并画出其图象大致形状，数形结合可得方程a=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$只有一个实根时的实数a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a）
当a=0时，R上y=f（x）单调递增；
当a＞0时，（-∞，0），$（{\frac{2a}{3}，+∞}）$为y=f（x）增区间，$（{0，\frac{2a}{3}}）$为y=f（x）减区间；
当a＜0，$（{-∞，\frac{2a}{3}}）$，（0，+∞）为y=f（x）增区间，$（{\frac{2a}{3}，0}）$为y=f（x）减区间；
（2）曲线y=f（x）与直线y=x-1只有一个交点，等价于关于x的方程ax²=x³-x+1只有一个实根．
显然x≠0，
∴方程a=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$只有一个实根．
设函数g（x）=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，则g′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{3}+x-2}{{x}^{3}}$．
设h（x）=x³+x-2，h′（x）=3x²+1＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0．
∴当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
∴g（x）在x=1时取极小值1．
又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；
又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷．
∴g（x）图象大致如图所示：

∴方程a=x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$只有一个实根时，实数a的取值范围为（-∞，1）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是压轴题．