Question

12．已知函数f（x）=ax³-3x²+1-$\frac{3}{a}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为曲线y=f（x）上两点，线段AB与x轴有公共点，且x₁，x₂均为y=f（x）的极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，求出相应方程的根，因为二次项的系数为a，要分a＞0，和a＜0进行讨论．
（2）由曲线y=f（x）上两点A、B为函数的两极值点，又线段AB与x轴有公共点，及两极值应该异号（或其中一个为0），得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由a≠0，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）
令f′（x）=0得x₁=0，x₂=$\frac{2}{a}$．
（i）当a＞0时，
若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，所以f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
若x∈（0，$\frac{2}{a}$），则f'（x）＜0，所以f（x）在区间（0，$\frac{2}{a}$）上是减函数；
若x∈（$\frac{2}{a}$，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在区间（$\frac{2}{a}$，+∞）上是增函数；
（i i）当a＜0时，
若x∈（-∞，$\frac{2}{a}$），则f'（x）＜0，所以f（x）在区间（-∞，$\frac{2}{a}$）上是减函数；
若x∈（$\frac{2}{a}$，0），则f'（x）＞0，所以f（x）在区间（$\frac{2}{a}$，0）上是增函数；
若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（2）由（1）中（i）的讨论及题设知，
曲线y=f（x）上的两点A，B的纵坐标为函数的极值，且函数y=f（x）在x=0，x=$\frac{2}{a}$处分别是取得极大值和极小值
f（0）=1-$\frac{3}{a}$，f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{a}$+1．
因为线段AB与x轴有公共点，所以 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（\frac{2}{a}）≤0}\end{array}\right.$并且两等号不能同时成立
即（1-$\frac{3}{a}$）（-$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{a}$+1）≤0，∴$\frac{（a+1）（a-3）（a-4）}{{a}^{3}}$≤0，
解得：-1≤a＜0或3≤a≤4，
故所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4]．

点评 本题考查了函数的导数，单调性，极值，零点等知识．是一道导数的综合题．属于中档题．