Question

17．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图象关于原点对称，且图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+6y+11=0垂直，导函数f′（x）的最大值为12．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=3x²+m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出b=d=0，根据切线和直线的关系得到关于a，c的方程组，求出a，c的值，从而求出函数的表达式；
（2）问题转化为m=-2x³-3x²+12x，令g（x）=-2x³-3x²+12x，求出g（x）的极大值和极小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，则f（0）=0，∴b=0，d=0，
∴f′（x）=3ax²+c，则$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=6}\\{c=12}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{c=12}\end{array}\right.$，
∴f（x）=-2x³+12x；
（2）∵f（x）=3x²+m，∴m=-2x³-3x²+12x，
令g（x）=-2x³-3x²+12x，则g′（x）=-6x²-6x+12，
令g′（x）＞0，解得：-2＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-2，
∴g（x）在（-∞，-2），（1，+∞）递减，在（-2，1）递增，
∴g（x）的极大值是7，极小值是-20，
故m的范围是（-20，7）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．