Question

6．已知集合A是由方程ax²+2x+1=0（a∈R）的实数解作为元素构成的集合．
（1）1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；
（2）若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；
（3）若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据1是A中的一个元素，求出a值，进而解方程可得集合A中的其他元素；
（2）分a=0与a≠0两种情况讨论；
（3）可考虑研究有两个元素的情况，求其补集即可．

解答 解（1）若1是A中的一个元素，
则只需a+2+1=0，
解得：a=-3，
此时A={x|-3x²+2x+1=0}={1，$-\frac{1}{3}$}，
则集合A中的另一个元素为：$-\frac{1}{3}$．
（2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得x=-$\frac{1}{2}$，满足条件；
当a≠0时，只需△=4-4a=0，即a=1，
故所求a的值为0或1，
即B={0，1}；
（3）若A=∅，只需△=4-4a＜0，即a＞1，
结合（2）可知，
A中至多有一个元素时，a的值为0或a≥1．

点评 本题以集合为载体，考查了一元二次方程的解得个数的判断问题，要注意对最高次数项是否为零的讨论．