Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
求：（1）该直三棱柱的侧面积；
（2）（理）异面直线DB₁与EA₁所成的角的大小（用反三角函数值表示）
（文）异面直线DE与A₁B₁所成的角的大小．

Answer 1

解：（1）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=，
∴S_侧=（AB+AC+BC）AA₁=（3+）；
（2）（理）取B₁C₁的中点为F，连接EF，A₁F，

则B₁F∥BC，并且B₁F=BC，
因为点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，所以DE∥BC，并且DE=BC，
所以B₁F∥DE，并且B₁F=DE，
所以四边形B1DEF是平行四边形，所以B₁D∥EF，
所以∠FEA₁与异面直线DB₁与EA₁所成的角相等．
取BC的中点为H，连接FH，EH，
因为BC=1，AA₁=，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
所以EA₁=，A₁F=，FE=，
所以在△FEA₁中，由余弦定理可得：cos∠FEA₁==，
所以异面直线DB₁与EA₁所成的角的大小为arccos．
（3）（文）∵AB∥A₁B₁，∴∠ADE就是异面直线DE与A₁B₁所成的角
∵点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，∠ABC=60°，
∴∠ADE=60°，
∴异面直线DE与A₁B₁所成的角为60°．
分析：（1）根据题意求出AC、AB的长，然后利用直三棱柱的侧面展开图是矩形，即可求得结果；
（2）（理）取B₁C₁的中点为F，连接EF，A₁F，根据题意可得：四边形B1DEF是平行四边形，即可得到B₁D∥EF，可得∠FEA₁与异面直线DB₁与EA₁所成的角相等，再利用余弦定理求出异面直线的夹角；
（3）（文）根据几何体的结构特征可得：AB∥A₁B₁，进而得到∠ADE就是异面直线DE与A₁B₁所成的角，再根据题意异面直线的夹角即可．
点评：本题考查柱体的侧面积，考查了异面直线所成的角，确定异面直线所成的角是关键．