【题目】过直线x=﹣2上的动点P作抛物线y2=4x的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)若切线PA,PB的斜率分别为k1 , k2 , 求证:k1k2为定值;
(2)求证:直线AB恒过定点.
【答案】
(1)证明:不妨设 ,B
(t1>0,t2>0),P(﹣2,m).
由y2=4x,当y>0时, ,
,
∴ .
同理k2= .
由 =
,得
=0.
同理 ﹣mt2﹣2=0.
∴t1,t2是方程t2﹣mt﹣2=0的两个实数根,
∴t1t2=﹣2,
∴k1k2= =﹣
为定值
(2)证明:直线AB的方程为y﹣2t1= .
即 +2t1﹣
,
即 ,由于t1t2=﹣2,
∴直线方程化为 ,
∴直线AB恒过定点(2,0)
【解析】(1)不妨设 ,B
(t1>0,t2>0),P(﹣2,m).由y2=4x,当y>0时,
,
,可得
.同理k2=
.利用斜率计算公式可得k1=
,得
=0.同理
﹣mt2﹣2=0.t1 , t2是方程t2﹣mt﹣2=0的两个实数根,即可得出k1k2=
为定值.(2)直线AB的方程为y﹣2t1=
.化为
,由于t1t2=﹣2,可得直线方程
.
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【题目】已知函数f(x)=3|x|+log3|x|.
(1)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(2)说明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并利用单调性定义证明;
(3)若 f(2a)<28,求实数a的取值范围.
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【题目】(本小题满分10分)
已知函数f(x)=(x2+bx+b) (b∈R).
(1)当b=4时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间上单调递增,求b的取值范围.
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【题目】已知函数g(x)=(a+1)x﹣2+1(a>0)的图象恒过定点A,且点A又在函数 的图象上.
(1)求实数a的值;
(2)解不等式f(x)< ;
(3)函数h(x)=|g(x+2)﹣2|的图象与直线y=2b有两个不同的交点时,求b的取值范围.
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【题目】下列说法中,正确的是
①任取x>0,均有3x>2x .
②当a>0,且a≠1时,有a3>a2 .
③y=( )﹣x是增函数.
④y=2|x|的最小值为1.
⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若圆C与直线x﹣y+a=0交于A,B两点,且CA⊥CB求a的值.
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