Question

【题目】已知函数f（x）=3|x|+log3|x|．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）说明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并利用单调性定义证明；
（3）若 f（2a）＜28，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=3|x|+log3|x|的定义域为R{x|x≠0}

且f（﹣x）=3|﹣x|+log3|﹣x|=3|x|+log3|x|=f（x），

则函数f（x）为偶函数

（2）解：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，

证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则

f（x1）﹣f（x2）= ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

则f（x）在（0，+∞）上是增函数

（3）解：∵f（3）=28，f（2a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函数

∴2a＜3，∴a＜log23

【解析】（1）求函数f（x）=3|x|+log3|x|的定义域为R{x|x≠0}，判断f（﹣x）=3|﹣x|+log3|﹣x|=3|x|+log3|x|=f（x），即可；（2）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论；（3）利用f（3）=28，f（2a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函数，即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．