Question

已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b（b-

3

c）=（a-c）（a+c），且角B为钝角．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

1

2

，求b-

3

c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由条件利用余弦定理求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

 的值，可得A的值．
（2）由正弦定理可得b-

3

c=-sin（B+

π

3

），根据角B为钝角，且B＜π-A，可得B+

π

3

的范围，再根据正弦函数的定义域和值域，求得b-

3

c的取值范围．

解答： 解：（1）在△ABC中，由b（b-

3

c）=（a-c）（a+c），可得b²+c²-a²=

3

bc，
故由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，∴A=

π

6

．
且角B为钝角．
（2）∵a=

1

2

，A=

π

6

，由正弦定理可得

a

sinA

=2r，即2r=

1 2

sin π 6

=1（r为三角形外接圆的半径），且 B+C=

5π

6

．
故b-

3

c=sinB-

3

sinC=sinB-

3

sin（

5π

6

-B）=sinB-

3

（sin

5π

6

cosB-cos

5π

6

sinB）
=-

1

2

sinB-

3

2

cosB=-sin（B+

π

3

），
根据角B为钝角，且B＜π-A=

5π

6

，可得B+

π

3

∈（

5π

6

，

7π

6

），
故sin（B+

π

3

）∈（-

1

2

，

1

2

），故-sin（B+

π

3

）∈（-

1

2

，

1

2

），
即b-

3

c的取值范围为（-

1

2

，

1

2

）．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．