Question

设非零向量向量

OA

=

a

，

OB

=

b

，已知|

a

|=2|

b

|，（

a

+

b

）⊥

b

．
（1）求

a

与

b

的夹角；
（2）在如图所示的直角坐标系xOy中，设B（1，0），已知
M（

1

2

，

5 3

6

），

OM

=λ₁

a

+λ₂

b

（λ₁，λ₂∈R），求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）由（

a

+

b

）⊥

b

．可得

a

•

b

=-

b

2．又|

a

|=2|

b

|，利用向量夹角公式可得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

．即可得出．
（2）利用向量的线性运算及其相等即可得出．

解答： 解：（1）∵（

a

+

b

）⊥

b

．
∴（

a

+

b

）•

b

=

a

•

b

+

b

2=0，
∴

a

•

b

=-

b

2．
又|

a

|=2|

b

|，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

- b 2

2| b |2

=-

1

2

．
∴

a

与

b

的夹角为

2π

3

；
（2）由已知及（1）得A(-1，

3

)，
∵

OM

=λ₁

a

+λ₂

b

，
∴（

1

2

，

5 3

6

）=λ1(-1，

3

)+λ₂（1，0）=(λ2-λ1，

3

λ1)，
∴

λ2-λ1= 1 2 3 λ1= 5 3 6

，
解得λ₁=

5

6

，λ₂=

8

6

．
∴λ₁+λ₂=

13

6

．

点评：本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．