Question

已知函数f（x）=sin2x-2cos²x+3．求：
①函数的最大值及取得最大值时x值的集合；
②函数的单调递增区间；
③满足f（x）＞3的x的集合．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：①运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的最值，即可得到；
②运用正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求区间；
③运用正弦函数的图象和性质，解不等式即可得到所求集合．

解答： 解：①f（x）=sin2x-2cos²x+3=sin2x-（1+cos2x）+3
=

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）+2=

2

sin（2x-

π

4

）+2，
当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z）即x=kπ+

3π

8

时，f（x）取得最大值2+

2

，
x的取值集合为{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z}；
②令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
则有函数的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z；
③f（x）＞3即sin（2x-

π

4

）＞

2

2

，
即有2kπ+

π

4

＜2x-

π

4

＜2kπ+

3π

4

，k∈Z，
解得kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，
所求x的集合为{x|kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}．

点评：本题考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，主要考查正弦函数的值域、单调性和最值，属于中档题．