Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若s₅=4a₄-1且a₄是a₁与a₁₃的等比中项
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=

1

Sn

，T_n是数列{b_n}的前n项和，且T_n≤m对n∈N^*都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

5a1+10d=4(a1+3d)-1 (a1+3d)2=a1(a1+12d) d≠0

，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，得b_n=

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂项求和法结合题设条件能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，
S₅=4a₄-1且a₄是a₁与a₁₃的等比中项，
∴

5a1+10d=4(a1+3d)-1 (a1+3d)2=a1(a1+12d) d≠0

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）∵a₁=3，d=2，∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，
∴b_n=

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

，
∵T_n≤m对n∈N^*都成立，∴m≥

3

4

，
∴实数m的取值范围是[

3

4

，+∞）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．