Question

已知a∈R，f（x）=x²+ax+a+1，g（x）=e^x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若h（a）是f（x）的最小值，求出h（a）的最大值；
（3）讨论函数F（x）=f（x）g（x）极点值的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出f′（x）=0，比较f′（x）与0的大小关系即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）将函数f（x）配方即可得到h（a）是一个关于a的二次函数，其图象是一个开口向下的抛物线，再配方即可；
（3）先求出f′（x）=0时得到方程，讨论△的取值决定方程解的个数，从而得到函数极值的个数．

解答： 解：（1）令f′（x）=2x+a=0，则x=-

a

2

．
故函数f（x）的单调增区间为[-

a

2

，+∞)；
函数f（x）的单调减区间为(-∞，-

a

2

]．
（2）由f（x）=x²+ax+a+1=(x+

a

2

)2+a+1-

a2

4

知
h（a）=a+1-

a2

4

=1-[(

a

2

)2-a]=1-[(

a

2

-1)2-1]=2-(

a

2

-1)2，
故h（a）的最大值为2．
（3）．f′（x）=e^x（x²+ax+a+1）+e^x（2x+a）
=e^x[x²+（a+2）x+（2a+1）]，
令f′（x）=0得x²+（a+2）x+（2a+1）=0，分三种情况讨论：
（a）当△=（a+2）²-4（2a+1）=a²-4a=a（a-4）＞0．
即a＜0或a＞4时，方程x²+（a+2）x+（2a+1）=0有两个不同的实根x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
于是f′（x）=e^x（x-x₁）（x-x₂），故有下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	f（x1）为极大值	↓	f（x2）为极小值	↑

即此时f（x）有两个极值点．
（b）当△=0即a=0或a=4时，方程x²+（a+2）x+（2a+1）=0有两个相同的实根x₁=x₂
于是f′（x）=e^x（x-x₁）²
故当x＜x₁时，f′（x）；当x＞x₂时，f′（x）＞0，因此f（x）无极值．
（c）当△＜0，即0＜a＜4时，x²+（a+2）x+（2a+1）＞0，
f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+（2a+1）]＞0，故f（x）为增函数，此时f（x）无极值．
因此当a＞4或a＜0时，f（x）有2个极值点，当0≤a≤4时，f（x）无极值点．
综上所述：当a＜0或a＞4时，f（x）有两个极值点．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力．