Question

已知函数f（x）=

3

sinωx-cosωx（ω＞0）的图象与直线y=2的相邻两个交点之间的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(

α

2

)=

2

3

，求cos(2α-

π

3

)的值．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）运用两角差的正弦公式，化简f（x），求得最大值为2，再由正弦函数的周期公式和单调增区间，解不等式即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简整理，再由二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值．

解答： 解：（Ⅰ）因为f(x)=

3

sinωx-cosωx(ω＞0，x∈R)，
所以f(x)=2sin(ωx-

π

6

)．
所以f（x）_max=2．
因为函数f（x）与直线y=2的相邻两个交点之间距离为π，
所以T=π，
由

2π

ω

=π，解得ω=2，
所以f(x)=2sin(2x-

π

6

)．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
则函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(

α

2

)=2sin(α-

π

6

)，因为f(

α

2

)=

2

3

，
即有sin(α-

π

6

)=

1

3

．
则cos(2α-

π

3

)=cos2(α-

π

6

)=1-2sin2(α-

π

6

)=1-2×

1

9

=

7

9

．

点评：本题考查两角差的正弦公式和二倍角公式的运用，主要考查正弦函数的图象与性质（周期性、单调性）等基础知识，考查运算求解能力．